4 Exercícios de Factoring com Soluções



O exercícios de factoring eles ajudam a entender essa técnica, que é amplamente usada em matemática e consiste no processo de escrever uma soma como um produto de certos termos.

A palavra fatoração refere-se a fatores, que são termos que multiplicam outros termos.

Por exemplo, na decomposição do fator primo de um número natural, os números primos envolvidos são chamados de fatores.

Ou seja, 14 pode ser escrito como 2 * 7. Neste caso, os fatores primos de 14 são 2 e 7. O mesmo se aplica aos polinômios das variáveis ​​reais.

Ou seja, se tivermos um polinômio P (x), então, o fator de polinômio consiste em escrever P (x) como o produto de outros polinômios de grau menor que o grau de P (x).

Factorização

Diversas técnicas são utilizadas para fatorar um polinômio, dentre as quais estão os produtos notáveis ​​e o cálculo das raízes do polinômio.

Se você tem um polinômio de segundo grau P (x), e x1 e x2 são as raízes reais de P (x), então P (x) pode ser fatorado como "a (x-x1) (x-x2)", onde "a" é o coeficiente que acompanha o poder quadrático.

Como as raízes são calculadas?

Se o polinômio é de grau 2, então as raízes podem ser calculadas com a fórmula chamada "o resolvedor".

Se o polinômio é de grau 3 ou superior, o método de Ruffini é geralmente usado para calcular as raízes.

4 exercícios de factoring

Primeiro exercício

Fator o seguinte polinômio: P (x) = x²-1.

Solução

Nem sempre é necessário usar o resolvedor. Neste exemplo, um produto notável pode ser usado.

Ao reescrever o polinômio da seguinte maneira, você pode ver qual produto notável usar: P (x) = x² - 1².

Usando o notável produto 1, diferença de quadrados, temos que o polinômio P (x) pode ser fatorado como segue: P (x) = (x + 1) (x-1).

Isso também indica que as raízes de P (x) são x1 = -1 e x2 = 1.

Segundo exercício

Fator o seguinte polinômio: Q (x) = x³ - 8.

Solução

Existe um produto notável que diz o seguinte: a³-b³ = (a-b) (a² + ab + b²).

Sabendo disso, podemos reescrever o polinômio Q (x) como segue: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Agora, usando o notável produto descrito, temos que a fatoração do polinômio Q (x) é Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² + 2x + 4).

Falha ao fatorar o polinômio quadrático que surgiu na etapa anterior. Mas, se for observado, o notável número de produto 2 pode ajudar; portanto, a fatoração final de Q (x) é dada por Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Isto diz que uma raiz de Q (x) é x1 = 2, e que x2 = x3 = 2 é a outra raiz de Q (x), que é repetida.

Terceiro exercício

Fator R (x) = x² - x - 6.

Solução

Quando você não consegue detectar um produto notável ou não tem a experiência necessária para manipular a expressão, prossiga com o uso do resolvedor. Os valores são os seguintes: a = 1, b = -1 e c = -6.

Ao substituí-los nos resultados da fórmula x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5 ) / 2.

Daqui resulta duas soluções que são as seguintes:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Portanto, o polinômio R (x) pode ser fatorado como R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3).

Quarto exercício

Fator H (x) = x³ - x² - 2x.

Solução

Neste exercício, você pode começar pegando o fator comum x e obter aquele H (x) = x (x²-x-2).

Portanto, precisamos apenas fatorar o polinômio quadrático. Usando a resolução novamente, temos que as raízes são:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2))) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Portanto, as raízes do polinômio quadrático são x1 = 1 e x2 = -2.

Em conclusão, a fatorização do polinômio H (x) é dada por H (x) = x (x-1) (x + 2).

Referências

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  6. Rock, N. M. (2006). Álgebra eu é fácil! Tão fácil Team Rock Press.
  7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e trigonometria Educação Pearson.