Técnicas de Análise Dimensional, Princípio da Homogeneidade e Exercícios

O análise dimensional é uma ferramenta amplamente utilizada em diferentes ramos da ciência e engenharia para entender melhor os fenômenos que envolvem a presença de diferentes magnitudes físicas. As magnitudes têm dimensões e a partir delas derivam as diferentes unidades de medida.

A origem do conceito de dimensão é encontrada no matemático francês Joseph Fourier, que o cunhou. Fourier também entendeu que, para duas equações serem comparáveis, elas devem ser homogêneas em termos de suas dimensões. Ou seja, você não pode adicionar medidores com quilogramas.

Assim, a análise dimensional é responsável pelo estudo das grandezas, dimensões e homogeneidade das equações físicas. Por essa razão, é freqüentemente usado para verificar relacionamentos e cálculos, ou para construir hipóteses sobre questões complicadas que podem ser testadas experimentalmente.

Desta forma, a análise dimensional é uma ferramenta perfeita para detectar erros nos cálculos ao verificar a congruência ou incongruência das unidades neles utilizadas, focando principalmente nas unidades dos resultados finais.

Além disso, a análise dimensional é usada para projetar experimentos sistemáticos. Permite reduzir o número de experimentos necessários, bem como facilitar a interpretação dos resultados obtidos.

Uma das bases fundamentais da análise dimensional é que é possível representar qualquer quantidade física como um produto das potências de uma quantidade menor, conhecidas como quantidades fundamentais das quais as outras derivam.

Índice

• 1 Magnitudes fundamentais e fórmula dimensional
• 2 técnicas de análise dimensional
  • 2.1 método de Rayleigh
  • 2.2 Método de Buckingham
• 3 Princípio da homogeneidade dimensional
  • 3.1 Princípio da similaridade
• 4 aplicações
• 5 exercícios resolvidos
  • 5.1 Primeiro exercício
  • 5.2 Segundo exercício
• 6 referências

Magnitudes fundamentais e fórmula dimensional

Na física, as magnitudes fundamentais são consideradas aquelas que permitem que os outros se expressem em termos destas. Por convenção, foram escolhidos: comprimento (L), tempo (T), massa (M), intensidade da corrente elétrica (I), temperatura (θ), intensidade da luz (J) e quantidade de substância (N).

Pelo contrário, o resto é considerado como quantidades derivadas. Algumas delas são: área, volume, densidade, velocidade, aceleração, entre outras.

É definido como uma fórmula dimensional para a igualdade matemática que apresenta a relação que ocorre entre uma quantidade derivada e as fundamentais.

Técnicas de análise dimensional

Existem várias técnicas ou métodos de análise dimensional. Dois dos mais importantes são os seguintes:

Método de Rayleigh

Rayleigh, que estava ao lado de Fourier, um dos precursores da análise dimensional, desenvolveu um método direto e muito simples que permite obter elementos adimensionais. Nesse método, as seguintes etapas são seguidas:

1- A função de caractere potencial da variável dependente é definida.

2- Cada variável é alterada por suas dimensões correspondentes.

3- As equações de condição de homogeneidade são estabelecidas.

4- As incógnitas n-p são corrigidas.

5- Substituir os expoentes que foram calculados e fixados na equação potencial.

6- Mova os grupos de variáveis ​​para definir os números adimensionais.

Método de Buckingham

Este método é baseado no teorema ou pi teorema de Buckingham, que afirma:

Se existe uma relação em um nível dimensional homogêneo entre um número "n" de grandezas físicas ou variáveis ​​onde "p" diferentes dimensões fundamentais aparecem, há também uma relação de homogeneidade entre n-p, grupos adimensionais independentes.

Princípio da homogeneidade dimensional

O princípio de Fourier, também conhecido como o princípio da homogeneidade dimensional, afeta a estruturação adequada de expressões que vinculam algebricamente as grandezas físicas.

É um princípio que tem consistência matemática e afirma que a única opção é subtrair ou somar magnitudes físicas que são da mesma natureza. Portanto, não é possível adicionar uma massa com um comprimento ou um tempo com uma superfície, etc.

Da mesma forma, os estados princípio que, para equações físicas estão corretas para o nível dimensional, o total dos termos de membros de ambos os lados da igualdade deve ter a mesma dimensão. Este princípio permite garantir a coerência das equações físicas.

Princípio da similaridade

O princípio da semelhança é um nível de homogeneidade dimensional caráter extensão de equações físicas. É afirmado da seguinte forma:

As leis físicas permanecem inalteradas em face da mudança das dimensões (tamanho) de um fato físico no mesmo sistema de unidades, sejam elas mudanças de caráter real ou imaginário.

A aplicação mais clara do princípio da similaridade é dada na análise das propriedades físicas de um modelo feito em menor escala, para posteriormente utilizar os resultados no objeto em tamanho real.

Esta prática é fundamental em áreas como a concepção e fabricação de aeronaves e navios e em grandes obras hidráulicas.

Aplicações

Entre as muitas aplicações da análise dimensional, podemos destacar as listadas abaixo.

- Localizar possíveis erros nas operações realizadas

- Resolver problemas cuja resolução apresenta alguma dificuldade matemática intransponível.

- Projetar e analisar modelos em escala reduzida.

- Faça observações sobre como as possíveis modificações em um modelo influenciam.

Além disso, a análise dimensional é usada com bastante frequência no estudo da mecânica dos fluidos.

A relevância da análise dimensional na mecânica dos fluidos deve-se à dificuldade de se estabelecer equações em determinados fluxos, bem como à dificuldade em resolvê-los, de modo que é impossível obter relações empíricas. Por esta razão, é necessário recorrer ao método experimental.

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Encontre a equação dimensional de velocidade e aceleração.

Solução

Como v = s / t, é verdade que: [v] = L / T = L ∙ T^-1

Da mesma forma:

a = v / t

[a] = L / T² = L ∙ T^-2

Segundo exercício

Determine a equação dimensional da quantidade de movimento.

Solução

Como o momento é o produto entre massa e velocidade, é satisfeito que p = m ∙ v

Por tanto:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T^-2

Referências

1. Análise dimensional (n.d.). Na Wikipedia. Retirado em 19 de maio de 2018, de es.wikipedia.org.
2. Análise dimensional (n.d.). Na Wikipedia. Retirado em 19 de maio de 2018, de en.wikipedia.org.
3. Langhaar, H. L. (1951),Análise Dimensional e Teoria dos ModelosWiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005).Física e Química. Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Entendendo a física. Birkhäuser.