Distribuições de Características de Probabilidade Discreta e Exercícios

O distribuições de probabilidade discretas eles são uma função que atribui a cada elemento de X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...}, onde X é uma variável aleatória discreta e S é seu espaço de amostra, a probabilidade de que o evento ocorra. Esta função f de X (S) definida como f (xi) = P (X = xi) é algumas vezes chamada de função de massa de probabilidade.

Essa massa de probabilidades é geralmente representada como uma tabela. Como X é uma variável aleatória discreta, X (S) tem um número finito de eventos ou um infinito contável. Entre as distribuições de probabilidade discretas mais comuns, temos a distribuição uniforme, a distribuição binomial e a distribuição de Poisson.

Índice

• 1 caraterísticas
• 2 tipos
  • 2.1 Distribuição uniforme sobre n pontos
  • 2.2 Distribuição Binomial
  • 2.3 Distribuição de Poisson
  • 2.4 Distribuição hipergeométrica
• 3 exercícios resolvidos
  • 3.1 Primeiro exercício
  • 3.2 Segundo exercício
  • 3.3 Terceiro exercício
  • 3.4 Terceiro exercício
• 4 referências

Características

A função de distribuição de probabilidade deve atender às seguintes condições:

Além disso, se X tiver apenas um número finito de valores (por exemplo x1, x2, ..., xn), então p (xi) = 0 se i> ny, portanto, a série infinita de condição b se torna um Série finita.

Essa função também cumpre as seguintes propriedades:

Seja B um evento associado à variável aleatória X. Isso significa que B está contido em X (S). Especificamente, suponha que B = {xi1, xi2, ...}. Portanto:

Em outras palavras, a probabilidade de um evento B é igual à soma das probabilidades dos resultados individuais associados a B.

A partir disso, podemos concluir que, se a <b, os eventos (X ≤ a) e (a <X ≤ b) são mutuamente exclusivos e, além disso, sua união é o evento (X ≤ b), então temos:

Tipos

Distribuição uniforme sobre n pontos

Diz-se que uma variável aleatória X segue uma distribuição que é caracterizada por ser uniforme em n pontos, se cada valor é atribuído a mesma probabilidade. Sua função de massa de probabilidade é:

Suponha que temos um experimento que tem dois resultados possíveis, pode ser o lançamento de uma moeda cujos resultados possíveis são face ou selo, ou a escolha de um número inteiro cujo resultado pode ser um número par ou um número ímpar; Este tipo de experimento é conhecido como testes de Bernoulli.

Em geral, os dois resultados possíveis são chamados de sucesso e fracasso, onde p é a probabilidade de sucesso e 1-p de falha. Podemos determinar a probabilidade de x sucessos em n testes de Bernoulli que são independentes uns dos outros com a seguinte distribuição.

Distribuição binomial

É essa função que representa a probabilidade de obter x sucessos em n testes independentes de Bernoulli, cuja probabilidade de sucesso é p. Sua função de massa de probabilidade é:

O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição binomial.

A seguinte distribuição deve seu nome ao matemático francês Simeon Poisson (1781-1840), que a obteve como limite da distribuição binomial.

Distribuição de Poisson

Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson do parâmetro λ quando pode obter os valores inteiros positivos 0,1,2,3, ... com a seguinte probabilidade:

Nesta expressão, λ é o número médio correspondente às ocorrências do evento para cada unidade de tempo, e x é o número de vezes que o evento ocorre.

Sua função de massa de probabilidade é:

Em seguida, um gráfico que representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição de Poisson.

Note que, contanto que o número de sucessos seja baixo e o número de testes realizados em uma distribuição binomial seja alto, podemos sempre aproximar essas distribuições, uma vez que a distribuição de Poisson é o limite da distribuição binomial.

A principal diferença entre essas duas distribuições é que, enquanto o binômio depende de dois parâmetros - a saber, n e p - o de Poisson só depende de λ, que às vezes é chamado de intensidade da distribuição.

Até agora, discutimos apenas distribuições de probabilidade para casos em que os diferentes experimentos são independentes uns dos outros; isto é, quando o resultado de um não é afetado por algum outro resultado.

Quando ocorre o caso de experimentos que não são independentes, a distribuição hipergeométrica é muito útil.

Distribuição hipergeométrica

Seja N o número total de objetos de um conjunto finito, dos quais podemos identificar k destes de alguma forma, formando um subconjunto K, cujo complemento é formado pelos elementos N-k remanescentes.

Se escolhermos aleatoriamente n objetos, a variável aleatória X que representa o número de objetos pertencentes a K nessa seleção tem uma distribuição hipergeométrica dos parâmetros N, n e k. Sua função de massa de probabilidade é:

O gráfico a seguir representa a função de massa de probabilidade para diferentes valores dos parâmetros da distribuição hipergeométrica.

Exercícios resolvidos

Primeiro exercício

Vamos supor que a probabilidade de um tubo de rádio (colocado em um determinado tipo de equipamento) funcionar por mais de 500 horas seja 0,2. Se 20 tubos são testados, qual é a probabilidade de que exatamente k destes funcione mais de 500 horas, k = 0, 1,2, ..., 20?

Solução

Se X é o número de tubos que trabalham mais de 500 horas, assumimos que X tem uma distribuição binomial. Então

E assim:

Para k≥11, as probabilidades são inferiores a 0,001

Assim podemos observar como a probabilidade de que k destes trabalhe mais de 500 horas suba, até que atinja seu valor máximo (com k = 4) e então comece a diminuir.

Segundo exercício

Uma moeda é lançada 6 vezes. Quando o resultado for caro, diremos que é um sucesso. Qual é a probabilidade de dois rostos saírem exatamente?

Solução

Para este caso, temos que n = 6 e ambas as probabilidades de sucesso e fracasso são p = q = 1/2

Portanto, a probabilidade de duas faces serem dadas (ou seja, k = 2) é

Terceiro exercício

Qual é a probabilidade de encontrar pelo menos quatro faces?

Solução

Para este caso, temos que k = 4, 5 ou 6

Terceiro exercício

Suponha que 2% dos artigos produzidos em uma fábrica estejam com defeito. Encontre a probabilidade P de que há três itens com defeito em uma amostra de 100 itens.

Solução

Para este caso, poderíamos aplicar a distribuição binomial para n = 100 e p = 0,02, obtendo como resultado:

Entretanto, como p é pequeno, usamos a aproximação de Poisson com λ = np = 2. Assim,

Referências

1. Kai Lai Chung Teoria elementar da probabilidade com processos estocásticos. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen, Matemática Discreta e suas Aplicações. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Probabilidade e Aplicativos Estatísticos. S.A. ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Matemática Discreta Resolvido Problemas. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria e Problemas de Probabilidade. McGraw-Hill.