Método de Divisão Sintética e Exercícios Resolvidos

O divisão sintética É uma maneira simples de dividir um polinômio P (x) por qualquer um da forma d (x) = x - c. É uma ferramenta muito útil, pois, além de nos permitir dividir polinômios, também nos permite avaliar um polinômio P (x) em qualquer número c, que por sua vez nos diz precisamente se esse número é zero ou não do polinômio.

Graças ao algoritmo de divisão, sabemos que, se temos dois polinômios P (x) e d (x) não constante, existem polinômios q (x) e r (x) único tal que é verdade que P (x) = q (x) d (x) + r (x), onde r (x) é zero ou menor que q (x). Estes polinômios são conhecidos como quociente e resíduo ou resto, respectivamente.

Em ocasiões em que o polinômio d (x) é da forma x-c, a divisão sintética nos dá um pequeno caminho para encontrar quem são q (x) er (x).

Índice

• 1 método de divisão sintética
• 2 exercícios resolvidos
  • 2.1 Exemplo 1
  • 2.2 Exemplo 2
  • 2.3 Exemplo 3
  • 2.4 Exemplo 4
• 3 referências

Método de divisão sintética

Seja P (x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀ o polinômio que queremos dividir e d (x) = x-c o divisor. Para dividir pelo método de divisão sintética, procedemos da seguinte forma:

1- Escrevemos os coeficientes de P (x) na primeira linha. Se qualquer poder de X não aparecer, nós colocamos zero como seu coeficiente.

2- Na segunda fila, à esquerda de um_n coloque c e desenhe as linhas de divisão como mostra a figura a seguir:

3- Diminuímos o coeficiente líder para a terceira linha.

Nesta expressão b_n-1= a_n

4- Multiplicamos c pelo coeficiente líder b_n-1 e o resultado é escrito na segunda linha, mas uma coluna à direita.

5- Adicionamos a coluna onde escrevemos o resultado anterior e o resultado colocamos sob essa soma; isto é, na mesma coluna, terceira linha.

Ao adicionar, temos como resultado_n-1+ c * b_n-1que, por conveniência, vamos chamar b_n-2

6- Multiplicamos c pelo resultado anterior e escrevemos o resultado à sua direita na segunda linha.

7- Repetimos os passos 5 e 6 até chegarmos ao coeficiente₀.

8- Escreva a resposta; isto é, o quociente e o resíduo. Como estamos fazendo a divisão de um polinômio de grau n entre um polinômio de grau 1, temos que o quociente sério de grau n-1.

Os coeficientes do quociente polinomial serão os números da terceira linha, exceto o último, que será o polinômio residual ou remanescente da divisão.

Exercícios resolvidos

Exemplo 1

Execute a seguinte divisão pelo método de divisão sintética:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

Solução

Primeiro, escrevemos os coeficientes de dividendo da seguinte forma:

Então nós escrevemos c no lado esquerdo, na segunda linha, junto com as linhas de divisão. Neste exemplo c = -1.

Nós diminuímos o coeficiente líder (neste caso b_n-1 = 1) e multiplique por -1:

Nós escrevemos o seu resultado para a direita na segunda linha, como mostrado abaixo:

Nós adicionamos os números na segunda coluna:

Nós multiplicamos 2 por -1 e escrevemos o resultado na terceira coluna, segunda linha:

Nós adicionamos na terceira coluna:

Procederemos de forma análoga até chegarmos à última coluna:

Assim, temos que o último número obtido é o resto da divisão, e os números restantes são os coeficientes do quociente polinomial. Isso está escrito da seguinte maneira:

Se quisermos verificar se o resultado está correto, basta verificar se a seguinte equação está preenchida:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Desta forma, podemos verificar que o resultado obtido está correto.

Exemplo 2

Execute a seguinte divisão de polinômios pelo método de divisão sintética

(7x³-x + 2): (x + 2)

Solução

Neste caso, temos o termo x² não aparece, por isso escreveremos 0 como seu coeficiente. Então, o polinômio seria como 7x³+ 0x²-x + 2

Nós escrevemos seus coeficientes em uma linha, isto é:

Escreva o valor de C = -2 para o lado esquerdo na segunda linha e desenhe as linhas de divisão.

Nós diminuímos o coeficiente líder b_n-1 = 7 e multiplique por -2, escrevendo seu resultado na segunda linha à direita.

Adicionamos e continuamos conforme explicado anteriormente, até chegarmos ao último termo:

Neste caso, o resto é r (x) = - 52 e o quociente obtido é q (x) = 7x²-14x + 27

Exemplo 3

Outra maneira de usar a divisão sintética é a seguinte: suponhamos que temos um polinômio P (x) de grau n e queremos saber o que é valor ao avaliá-lo em x = c.

Pelo algoritmo da divisão temos que podemos escrever o polinômio P (x) da seguinte maneira:

Nesta expressão, q (x) e r (x) são o quociente e o resto, respectivamente. Agora, se d (x) = x-c, ao avaliar em c no polinômio, encontramos o seguinte:

Por essa razão, precisamos apenas encontrar r (x), e isso podemos fazer graças à divisão sintética.

Por exemplo, temos o polinômio P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 e queremos saber qual é o seu valor ao avaliá-lo em x = 5.Para fazer isso, realizamos a divisão entre P (x) e d (x) = x -5 pelo método de divisão sintética:

Quando as operações são concluídas, sabemos que podemos escrever P (x) da seguinte maneira:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Portanto, ao avaliá-lo, temos que:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Como podemos ver, é possível usar a divisão sintética para encontrar o valor de um polinômio ao avaliá-lo em c ao invés de simplesmente substituir c por x.

Se tentássemos avaliar P (5) da maneira tradicional, teríamos que fazer alguns cálculos que tendem a se tornar tediosos.

Exemplo 4

O algoritmo de divisão para polinômios também é verdadeiro para polinômios com coeficientes complexos e, como conseqüência, temos que o método de divisão sintética também funciona para esses polinômios. Em seguida, vamos ver um exemplo.

Usaremos o método de divisão sintética para mostrar que z = 1+ 2i é um zero do polinômio P (x) = x³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); isto é, que o resto da divisão P (x) entre d (x) = x - z é igual a zero.

Nós procedemos como antes: na primeira linha, escrevemos os coeficientes de P (x), depois, no segundo, escrevemos z e desenhamos as linhas de divisão.

Nós fizemos a divisão como antes; isto é:

Podemos ver que o resíduo é zero; Portanto, concluímos que z = 1+ 2i é um zero de P (x).

Referências

1. Baldor Aurelio. Álgebra. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley e Kennedy. Pré-cálculo: Gráfico, numérico, algébrico 7ª Ed. Educação Pearson.
3. Flemming W & Varserg D. Álgebra e Trigonometria com Geometria Analítica. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Pré-cálculo 4ª Ed. Educação Pearson.
5. Vermelho Armando O. Álgebra 1 6a ed. O Ateneu