Métodos de Factorização e Exemplos

O fatoração é um método através do qual um polinômio é expresso na forma de multiplicação de fatores, que podem ser números, letras ou ambos. Para fatorar os fatores que são comuns aos termos são agrupados, e desta forma o polinômio é decomposto em vários polinômios.

Assim, quando os fatores se multiplicam, o resultado é o polinômio original. A fatoração é um método muito útil quando você tem expressões algébricas, porque ela pode ser convertida na multiplicação de vários termos simples; por exemplo: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b)

Há casos em que um polinômio não pode ser fatorado porque não há um fator comum entre seus termos; assim, essas expressões algébricas são divisíveis somente entre si e por 1. Por exemplo: x + y + z.

Em uma expressão algébrica, o fator comum é o maior divisor comum dos termos que o compõem.

Índice

• 1 métodos de factoring
  • 1.1 Factoring por fator comum
  • 1.2 Exemplo 1
  • 1.3 Exemplo 2
  • 1.4 Factoring por agrupamento
  • 1.5 Exemplo 1
  • 1.6 Factoring por inspeção
  • 1.7 Exemplo 1
  • 1,8 Exemplo 2
  • 1.9 Factoring com produtos notáveis
  • 1.10 Exemplo 1
  • 1.11 Exemplo 2
  • 1.12 Exemplo 3
  • 1.13 Factoring com a regra de Ruffini
  • 1.14 Exemplo 1
• 2 referências

Métodos de Factoring

Existem vários métodos de factoring, que são aplicados dependendo do caso. Alguns destes são os seguintes:

Factoring por fator comum

Nesse método, os fatores comuns são identificados; isto é, aqueles que se repetem nos termos da expressão. Em seguida, a propriedade distributiva é aplicada, o maior divisor comum é removido e a fatoração é concluída.

Em outras palavras, o fator comum de expressão é identificado e cada termo é dividido entre ele; os termos resultantes serão multiplicados pelo maior fator comum para expressar a fatoração.

Exemplo 1

Fator (b²x) + (b²y).

Solução

Primeiro, há o fator comum de cada termo, que neste caso é b²e, em seguida, divida os termos entre o fator comum da seguinte maneira:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

A fatoração é expressa, multiplicando o fator comum pelos termos resultantes:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y)

Exemplo 2

Fatorizar (2a)²b³) + (3ab²).

Solução

Neste caso, temos dois fatores que são repetidos em cada termo que são "a" e "b", e que são elevados a um poder. Para fatorá-los, primeiro os dois termos são divididos em sua forma longa:

2_*um_*um_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Pode-se observar que o fator "a" é repetido apenas uma vez no segundo termo, e o fator "b" é repetido duas vezes nele; então, no primeiro termo, há apenas 2, um fator "a" e um "b"; enquanto no segundo termo apenas 3 permanecem.

Portanto, escrevemos os horários em que "a" e "b" são repetidos e multiplicados pelos fatores que sobram de cada termo, como mostrado na imagem:

Factorização por agrupamento

Como em todos os casos o máximo divisor comum de um polinômio é claramente expresso, é necessário fazer outras etapas para poder reescrever o polinômio e, portanto, o fator.

Uma dessas etapas é agrupar os termos do polinômio em vários grupos e, em seguida, usar o método de fator comum.

Exemplo 1

Fator ac + bc + ad + bd.

Solução

Existem 4 fatores em que dois são comuns: no primeiro termo é "c" e no segundo é "d". Desta forma, os dois termos são agrupados e separados:

(ac + bc) + (ad + bd).

Agora é possível aplicar o método de fator comum, dividindo cada termo pelo seu fator comum e multiplicando esse fator comum pelos termos resultantes, assim:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Agora você recebe um binômio que é comum para ambos os termos. Faturá-lo é multiplicado pelos fatores restantes; Dessa forma você tem que:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b)

Factorização por inspeção

Este método é usado para fatorar polinômios quadráticos, também chamados de trinômios; isto é, aqueles que estão estruturados como machados² ± bx + c, onde o valor de "a" é diferente de 1. Este método também é usado quando o trinômio tem o formato x² ± bx + c e o valor de "a" = 1.

Exemplo 1

Fator x² + 5x + 6

Solução

Você tem um trinômio quadrático da forma x² ± bx + c. Para fatorar primeiro você deve encontrar dois números que, quando multiplicados, dão como resultado o valor de "c" (isto é, 6) e que sua soma é igual ao coeficiente "b", que é 5. Esses números são 2 e 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dessa forma, a expressão é simplificada assim:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Cada termo é fatorado:

- para (x² + 2x) o termo comum é extraído: x (x + 2)

- Para (3x + 6) = 3 (x + 2)

Assim, a expressão permanece:

x (x +2) + 3 (x +2).

Como você tem um binômio comum, para reduzir a expressão é multiplicado pelos termos restantes e você tem que:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)

Exemplo 2

Fator 4a² + 12a + 9 = 0.

Solução

Você tem um trinômio quadrático do machado da forma² ± bx + c e para fatorar multiplicar toda a expressão pelo coeficiente de x²; neste caso, 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² um² + 12a (4) + 36 = 0

Agora precisamos encontrar dois números que, quando multiplicados juntos, dão como resultado o valor de "c" (que é 36) e que, quando somados, resultam no coeficiente do termo "a", que é 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Desta forma, a expressão é reescrita, levando em conta que² um² = 4a _* 4a. Portanto, a propriedade distributiva de cada termo é aplicada:

(4a + 6) _* (4a + 6)

Finalmente, a expressão é dividida pelo coeficiente de²; isto é, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

A expressão é a seguinte:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3)

Factoring com produtos notáveis

Há casos em que, para fatorar totalmente os polinômios com os métodos anteriores, torna-se um processo muito longo.

É por isso que uma expressão pode ser desenvolvida com as fórmulas dos notáveis ​​produtos e, assim, o processo se torna mais simples. Entre os produtos notáveis ​​mais utilizados estão:

- Diferença de dois quadrados: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Quadrado perfeito de uma soma: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Quadrado perfeito de uma diferença: um² - 2ab + b² = (a - b)²

- Diferença de dois cubos: um³ - b³ = (a-b)_*(um² + ab + b²)

- Soma de dois cubos: um³ - b³ = (a + b) _* (um² - ab + b²)

Exemplo 1

Fator (5² - x²)

Solução

Neste caso, há uma diferença de dois quadrados; portanto, a fórmula do notável produto é aplicada:

(um² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

Exemplo 2

Fator 16x² + 40x + 25²

Solução

Neste caso, temos um quadrado perfeito de uma soma, porque podemos identificar dois termos ao quadrado, e o termo restante é o resultado da multiplicação de duas vezes a raiz quadrada do primeiro termo, pela raiz quadrada do segundo termo.

um² + 2ab + b² = (a + b)²

Para fatorar, apenas as raízes quadradas do primeiro e terceiro termos são calculadas:

√ (16x²) = 4x

√(25²) = 5.

Em seguida, os dois termos resultantes são separados pelo sinal da operação e todo o polinômio é quadrado:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Exemplo 3

Fator 27a³ - b³

Solução

A expressão representa uma subtração na qual dois fatores são elevados ao cubo. Para fatorar, a fórmula do produto notável da diferença de cubo é aplicada, que é:

um³ - b³ = (a-b)_*(um² + ab + b²)

Assim, para fatorar, a raiz cúbica de cada termo do binômio é extraída e multiplicada pelo quadrado do primeiro termo, mais o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o segundo termo pelo quadrado.

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²) ]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Factoring com a regra de Ruffini

Este método é usado quando você tem um polinômio de grau maior que dois, para simplificar a expressão para vários polinômios de menor grau.

Exemplo 1

Fator Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Solução

Primeiro, procure os números que são divisores de 12, que é o termo independente; estes são ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 e ± 12.

Então o x é substituído por esses valores, do menor para o maior, e assim é determinado com qual dos valores a divisão será exata; isto é, o resto deve ser 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9(-1)² + 4(-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9(1)² + 4(1) + 12 = 8  ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9(2)² + 4(2) + 12 = 0.

E assim por diante para cada divisor. Nesse caso, os fatores encontrados são para x = -1 e x = 2.

Agora aplica-se o método de Ruffini, segundo o qual os coeficientes da expressão serão divididos entre os fatores encontrados para que a divisão seja exata. Os termos polinomiais são ordenados do maior para o menor expoente; no caso que um termo com o grau que segue na seqüência está faltando, um 0 é colocado em seu lugar.

Os coeficientes estão localizados em um esquema, como visto na imagem a seguir.

O primeiro coeficiente é baixado e multiplicado pelo divisor. Nesse caso, o primeiro divisor é -1 e o resultado é colocado na próxima coluna. Então o valor do coeficiente é somado verticalmente com aquele resultado que foi obtido e o resultado é colocado abaixo. Desta forma, o processo é repetido até a última coluna.

Em seguida, o mesmo procedimento é repetido novamente, mas com o segundo divisor (que é 2) porque a expressão ainda pode ser simplificada.

Assim, para cada raiz obtida, o polinômio terá um termo (x - a), onde "a" é o valor da raiz:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Por outro lado, esses termos devem ser multiplicados pelo restante da regra de Ruffini 1: 1 e -6, que são fatores que representam uma nota. Desta forma, a expressão que é formada é: (x² + x - 6).

A obtenção do resultado da fatoração do polinômio pelo método de Ruffini é:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Para terminar, o polinômio de grau 2 que aparece na expressão anterior pode ser reescrito como (x + 3) (x-2). Portanto, a fatoração final é:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Referências

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Educação Pearson.
2. J, V. (2014). Como ensinar as crianças sobre o factoring ao polinómio.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Matemática Básica Com Aplicações.
4. Roelse, P. L. (1997). Métodos lineares para fatoração polinomial em campos finitos: teoria e implementações. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Anéis e Factorização.