Casos de Frações Parciais e Exemplos

O frações parciais São frações formadas por polinômios, em que o denominador pode ser um polinômio linear ou quadrático e, além disso, pode ser elevado a algum poder. Às vezes, quando temos funções racionais, é muito útil reescrever essa função como uma soma de frações parciais ou simples.

Isto é assim porque desta forma podemos manipular essas funções de uma maneira melhor, especialmente nos casos em que é necessário integrar esta aplicação. Uma função racional é simplesmente o quociente entre dois polinômios e pode ser apropriada ou imprópria.

Se o grau do polinômio do numerador for menor que o denominador, ele é chamado de sua própria função racional; caso contrário, é conhecido como uma função racional imprópria.

Índice

• 1 definição
• 2 casos
  • 2.1 Caso 1
  • 2.2 Caso 2
  • 2.3 Caso 3
  • 2.4 Caso 4
• 3 aplicações
  • 3.1 Cálculo abrangente
  • 3.2 Lei da ação de massa
  • 3.3 Equações diferenciais: equação logística
• 4 referências

Definição

Quando temos uma função racional inadequada, que pode dividir o numerador polinomial pelo polinomial denominador e assim reescrever a fracção de P (x) / q (x) a seguir o algoritmo de divisão como t (x) + s (x) / q (x), onde t (x) é um polinômio e s (x) / q (x) é uma função racional própria.

Uma fração parcial é qualquer função adequada de polinômios, cujo denominador é da forma (ax + b)ⁿ o (machado²+ bx + c)ⁿ, se o machado polinomial² + bx + c não tem raízes reais e n é um número natural.

A fim de reescrever uma função racional em fracções parciais, a primeira coisa a fazer é a factor do denominador q (x) como um produto de factores linear e / ou quadrática. Feito isso, as frações parciais são determinadas, o que depende da natureza dos fatores mencionados.

Casos

Consideramos vários casos separadamente.

Caso 1

Os fatores de q (x) são todos lineares e nenhum é repetido. Quer dizer:

q (x) = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂) ... (a_sx + b_s)

Lá, nenhum fator linear é idêntico ao outro. Quando este caso ocorrer, nós escreveremos:

p (x) / q (x) = A₁/ (a₁x + b₁) + A₂/ (a₂x + b₂) ... + A_s/ (a_sx + b_s).

Onde A₁, Um₂, ..., A_s são as constantes que você quer encontrar.

Exemplo

Desejamos decompor a função racional em frações simples:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x)

Nós procedemos para fatorar o denominador, isto é:

x³ + 3x² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Então:

(x - 1) / (x³+ 3x²+ 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Aplicando um mínimo múltiplo comum, você pode obter isso:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Queremos obter os valores das constantes A, B e C, que podem ser encontrados substituindo as raízes que cancelam cada um dos termos. Substituindo 0 por x, temos:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Substituindo - 1 por x, temos:

- 1 - 1 = (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2

Substituindo - 2 por x, temos:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Desta forma, os valores A = -1/2, B = 2 e C = -3/2 são obtidos.

Há um outro método para a obtenção dos valores de A, B e C. Se, no lado direito da equação x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x combinamos termos, temos:

x - 1 = (A + B + C) x² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Como essa é uma igualdade de polinômios, temos que os coeficientes do lado esquerdo devem ser iguais aos do lado direito. Isso resulta no seguinte sistema de equações:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ao resolver este sistema de equações, obtemos os resultados A = -1/2, B = 2 e C = -3/2.

Finalmente, substituindo os valores obtidos, temos que:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Caso 2

Os fatores de q (x) são todos lineares e alguns são repetidos. Suponha que (ax + b) seja um fator que é repetido "s" vezes; então, para este fator corresponde a soma das frações parciais "s".

Um_s/ (ax + b)^s + A_s-1/ (ax + b)^s-1 + ... + A₁/ (ax + b).

Onde o A_s, Um_s-1, ..., A₁ são as constantes a serem determinadas. Com o exemplo a seguir, mostraremos como determinar essas constantes.

Exemplo

Decomponha em frações parciais:

(x - 1) / (x²(x - 2)³)

Nós escrevemos a função racional como uma soma de frações parciais como segue:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = A / x² + B / x + C / (x - 2)³ + D / (x - 2)² + E / (x - 2).

Então:

x - 1 = A (x - 2)³ + B (x - 2)³x + cx² + D (x - 2) x² + E (x - 2)²x²

Substituindo 2 por x, temos que:

7 = 4C, isto é, C = 7/4.

Substituindo 0 por x, temos:

- 1 = -8A ou A = 1/8.

Substituindo esses valores na equação anterior e em desenvolvimento, temos que:

x - 1 = 1/8 (x³ - 6x² + 12x - 8) + Bx (x³ - 6x² + 12x - 8) + 7 / 4x² + Dx³ - 2Dx² + Ex²(x² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x² + (3/2 - 8B) x - 1.

Coeficientes de equação, obtemos o seguinte sistema de equações:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Resolvendo o sistema, temos:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16

Por causa disso, temos que:

(x - 1) / (x²(x - 2)³) = (1/8) / x² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)³ + (5/4) / (x - 2)² - (3/16) / (x - 2).

Caso 3

Os fatores de q (x) são lineares quadráticos, sem nenhum fator quadrático repetido. Para este caso, o fator quadrático (ax² + bx + c) corresponde à fração parcial (Ax + B) / (ax)² + bx + c), onde as constantes A e B são aquelas a serem determinadas.

O exemplo a seguir mostra como proceder neste caso

Exemplo

Decomponha-se em frações simples a (x + 1) / (x³ - 1).

Primeiro, passamos a fatorar o denominador, o que nos dá como resultado:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Nós podemos ver isso (x² + x + 1) é um polinômio quadrático irredutível; isto é, não tem raízes reais. Sua decomposição em frações parciais será a seguinte:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x² + x +1)

A partir disso, obtemos a seguinte equação:

x + 1 = (A + B) x² + (A - B + C) x + (A - C)

Usando igualdade de polinômios, obtemos o seguinte sistema:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Deste sistema temos A = 2/3, B = - 2/3 e C = 1/3. Substituindo, temos que:

(x + 1) / (x - 1) (x² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x² + x +1)

Caso 4

Finalmente, o caso 4 é aquele em que os fatores de q (x) são lineares e quadráticos, onde alguns dos fatores quadráticos lineares são repetidos.

Neste caso, se (machado² + bx + c) é um fator quadrático que é repetido "s" vezes, então a fração parcial correspondente ao fator (ax)² + bx + c) será:

(A₁x + B) / (machado² + bx + c) + ... + (A_s-1x + b_s-1) / (ax)² + bx + c)^s-1 + (A_sx + b_s) / (ax)² + bx + c)^s

Onde o A_s, Um_s-1... A e B_sB_s-1, ..., B são as constantes que você deseja determinar.

Exemplo

Queremos dividir a seguinte função racional em frações parciais:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²)

Como x² - 4x + 5 é um fator quadrático irredutível, temos que sua decomposição em frações parciais é dada por:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = A / x + (Bx + C) / (x² - 4x +5) + (Dx + E) / (x² - 4x + 5)²

Simplificando e desenvolvendo, temos:

x - 2 = A (x² - 4x + 5)² + (Bx + C) (x² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x⁴ + (- 8A - 4B + C) x³ + (26A + 5B - 4C + D) x² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Do acima exposto, temos o seguinte sistema de equações:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Ao resolver o sistema, temos que:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 e E = - 3/5.

Ao substituir os valores obtidos, temos:

(x - 2) / (x (x² - 4x + 5)²) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x² - 4x + 5)²

Aplicações

Cálculo integral

Frações parciais são usadas principalmente para o estudo do cálculo integral. Em seguida, veremos alguns exemplos de como fazer integrais usando frações parciais.

Exemplo 1

Queremos calcular a integral de:

Podemos ver que o denominador q (x) = (t + 2)²(t + 1) é composto de fatores lineares onde um deles se repete; é por isso que estamos no caso 2.

Temos que:

1 / (t + 2)²(t + 1) = A / (t + 2)² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Nós reescrevemos a equação e temos:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)²

Se t = - 1, temos que:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Se t = - 2, isso nos dá:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = -1

Então, se t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Substituindo os valores de A e C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Do acima exposto, temos que B = -1.

Nós reescrevemos a integral como:

Nós procedemos para resolvê-lo pelo método de substituição:

Isso resulta em:

Exemplo 2

Resolva a seguinte integral:

Neste caso, podemos fatorar para q (x) = x² - 4 como q (x) = (x - 2) (x + 2). Claramente estamos no caso 1. Portanto:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Também pode ser expresso como:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Se x = - 2, temos:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

E se x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Assim, temos que resolver que a integral dada é equivalente a resolver:

Isso nos dá como resultado:

Exemplo 3

Resolva a integral:

Nós temos q (x) = 9x⁴ + x² , que podemos fatorar em q (x) = x²(9x² + 1).

Nesta ocasião, temos um fator linear repetido e um fator quadrático; isto é, estamos no caso 3.

Temos que:

1 / x²(9x² + 1) = A / x² + B / x + (Cx + D) / (9x² + 1)

1 = A (9x² + 1) + Bx (9x² + 1) + Cx² + Dx²

Agrupando e usando igualdade de polinômios, temos:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Deste sistema de equações, temos que:

D = - 9 e C = 0

Desta forma, temos:

Resolvendo o exposto acima, temos:

Lei de ação em massa

Uma aplicação interessante das frações parciais aplicadas ao cálculo integral é encontrada na química, mais precisamente na lei da ação de massa.

Suponhamos que temos duas substâncias, A e B, que se juntam e formam uma substância C, de modo que a derivada da quantidade de C em relação ao tempo é proporcional ao produto das quantidades de A e B em um dado momento.

Podemos expressar a lei da ação em massa da seguinte forma:

Nesta expressão α é a quantidade inicial de gramas correspondente a A e β a quantidade inicial de gramas correspondente a B.

Além disso, re representam o número de gramas de A e B, respectivamente, que se combinam para formar r + s gramas de C. Por sua vez, x representa o número de gramas da substância C no tempo t, e K é o Constante de proporcionalidade. A equação acima pode ser reescrita como:

Fazendo a seguinte alteração:

Temos que a equação se transforma em:

Desta expressão podemos obter:

Onde sim a ≠ b, frações parciais podem ser usadas para integração.

Exemplo

Tomemos por exemplo uma substância C que surge da combinação de uma substância A com um B, de tal forma que a lei das massas é satisfeita, onde os valores de aeb são 8 e 6, respectivamente. Dê uma equação que nos dê o valor de gramas de C em função do tempo.

Substituindo os valores na lei de massa dada, nós temos:

Ao separar as variáveis, temos:

Aqui 1 / (8 - x) (6 - x) pode ser escrito como uma soma de frações parciais, como segue:

Assim, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Se substituirmos x por 6, temos que B = 1/2; e substituindo x por 8, temos A = - 1/2.

Integrando por frações parciais temos:

Isso nos dá como resultado:

Equações diferenciais: equação logística

Outra aplicação que pode ser dada às frações parciais está na equação diferencial logística. Em modelos simples, temos que a taxa de crescimento de uma população é proporcional ao seu tamanho; quer dizer:

Este caso é ideal e é considerado realista até acontecer que os recursos disponíveis em um sistema sejam insuficientes para manter a população.

Nessas situações, é mais razoável pensar que existe uma capacidade máxima, que chamaremos de L, que o sistema pode sustentar e que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população multiplicado pelo tamanho disponível. Este argumento leva à seguinte equação diferencial:

Essa expressão é chamada de equação diferencial logística. É uma equação diferencial separável que pode ser resolvida com o método de integração por frações parciais.

Exemplo

Um exemplo seria considerar uma população que cresce de acordo com a seguinte equação diferencial logística y '= 0,0004y (1000 - y), cujos dados iniciais são 400. Queremos saber o tamanho da população no tempo t = 2, onde t é medido em anos

Se escrevermos um e com a notação de Leibniz como uma função que depende de t, temos que:

A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando o método de integração por frações parciais:

Esta última igualdade pode ser reescrita da seguinte forma:

- Substituindo y = 0, temos que A é igual a 1/1000.

- Substituindo y = 1000, temos que B é igual a 1/1000.

Com esses valores, a integral permanece da seguinte maneira:

A solução é:

Usando os dados iniciais:

Quando clareando e nós partimos:

Então nós temos que em t = 2:

Em conclusão, após 2 anos, o tamanho da população é de aproximadamente 597,37.

Referências

1. A, R. A. (2012). Matemática 1. Universidade dos Andes. Conselho de Publicações.
2. Cortez, I. e Sanchez, C. (s.f.). 801 integrais resolvidas. Universidade Nacional Experimental de Tachira.
3. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA. HARLA, S.A.
4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Cálculo México: Educação Pearson.
5. Saenz, J. (s.f.). Cálculo integral. Hipotenusa.