Definição de Pirâmide Hexagonal, Características e Exemplos de Cálculo

Um pirâmide hexagonal é um poliedro formado por um hexágono, que é a base, e seis triângulos que partem dos vértices do hexágono e coincidem em um ponto fora do plano que contém a base. Neste ponto de concordância, é conhecido como o vértice ou o ápice da pirâmide.

Um poliedro é um corpo geométrico tridimensional fechado cujos rostos são figuras planas. Um hexágono é uma figura plana fechada (polígono) formada por seis lados. Se os seis lados tiverem o mesmo comprimento e formarem ângulos iguais, diz-se que é regular; caso contrário, é irregular.

Índice

• 1 definição
• 2 características
  • 2.1 côncavo ou convexo
  • 2.2 Bordas
  • 2.3 Apotema
  • 2,4 Denota
• 3 Como calcular a área? Fórmulas
  • 3.1 Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
• 4 Como calcular o volume? Fórmulas
  • 4.1 Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares
• 5 exemplo
  • Solução 5.1
• 6 referências

Definição

Uma pirâmide hexagonal contém sete faces, a base e os seis triângulos laterais, dos quais a base é a única que não toca o vértice.

Dizem que a pirâmide é reta se todos os triângulos laterais são isósceles. Neste caso, a altura da pirâmide é o segmento que vai do vértice ao centro do hexágono.

Em geral, a altura de uma pirâmide é a distância entre o vértice e o plano da base. Diz-se que a pirâmide é oblíqua, se não todos os triângulos laterais são isósceles.

Se o hexágono é regular e a pirâmide também é reta, diz-se que é uma pirâmide hexagonal regular. Da mesma forma, se o hexágono é irregular ou a pirâmide é oblíqua, diz-se que é uma pirâmide hexagonal irregular.

Características

Côncavo ou convexo

Um polígono é convexo se a medida de todos os ângulos internos for menor que 180 graus. Geometricamente, isso equivale a dizer que, dado um par de pontos dentro do polígono, o segmento de linha que os une está contido no polígono. Caso contrário, diz-se que o polígono é côncavo.

Se o hexágono é convexo, diz-se que a pirâmide é uma pirâmide convexa hexagonal. Caso contrário, será dito que é uma pirâmide hexagonal côncava.

Bordas

As bordas de uma pirâmide são os lados dos seis triângulos que a compõem.

Apotema

O apótema da pirâmide é a distância entre o vértice e os lados da base da pirâmide. Esta definição só faz sentido quando a pirâmide é regular, porque se for irregular esta distância varia dependendo do triângulo que é considerado.

Em contraste, nas pirâmides regulares o apótema corresponde à altura de cada triângulo (uma vez que cada um é isósceles) e será o mesmo em todos os triângulos.

O apótema da base é a distância entre um dos lados da base e o centro dela. Pela maneira como é definido, o apótema da base também faz sentido apenas em pirâmides regulares.

Denota

A altura de uma pirâmide hexagonal será denotada por h, o apótema da base (no caso normal) por APb e o apótema da pirâmide (também no caso regular) por AP.

Uma característica das pirâmides hexagonais regulares é que h, APb e AP formar um triângulo retângulo de hipotenusa AP e pernas h e APb. Pelo teorema de Pitágoras você tem que AP = √ (h^ 2 + APb ^ 2).

A imagem anterior representa uma pirâmide regular.

Como calcular a área? Fórmulas

Considere uma pirâmide hexagonal regular. Ser adaptado para cada lado do hexágono. Então A corresponde à medida da base de cada triângulo da pirâmide e, portanto, às bordas da base.

A área de um polígono é o produto do perímetro (a soma dos lados) pelo apótema da base, dividido por dois. No caso de um hexágono, seria 3 * A * APb.

Pode ser visto que a área de uma pirâmide hexagonal regular é igual a seis vezes a área de cada triângulo da pirâmide mais a área da base. Como mencionado anteriormente, a altura de cada triângulo corresponde ao apótema da pirâmide, AP.

Portanto, a área de cada triângulo da pirâmide é dada por A * AP / 2. Assim, a área de uma pirâmide hexagonal regular é 3 * A * (APb + AP), onde A é uma aresta da base, APb é o apótema da base e AP o apótema da pirâmide.

Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares

No caso de uma pirâmide hexagonal irregular, não existe uma fórmula direta para o cálculo da área, como no caso anterior. Isso ocorre porque cada triângulo da pirâmide terá uma área diferente.

Neste caso, a área de cada triângulo deve ser calculada separadamente e a área da base. Então, a área da pirâmide será a soma de todas as áreas previamente calculadas.

Como calcular o volume? Fórmulas

O volume de uma pirâmide de forma hexagonal regular é o produto da altura da pirâmide pela área da base entre três.Assim, o volume de uma pirâmide hexagonal regular é dado por A * APb * h, onde A é uma aresta da base, APb é o apótema da base eh é a altura da pirâmide.

Cálculo em pirâmides hexagonais irregulares

Analogamente à área, no caso de uma pirâmide hexagonal irregular, não existe uma fórmula direta para calcular o volume, uma vez que as bordas da base não têm a mesma medida, porque é um polígono irregular.

Neste caso, a área de base deve ser calculada separadamente e o volume será (h * Área de base) / 3.

Exemplo

Calcular a área e o volume de uma pirâmide hexagonal regular de altura 3 cm, cuja base é um hexágono regular de 2 cm de cada lado e o apótema da base é de 4 cm.

Solução

Primeiro você deve calcular o apótema da pirâmide (AP), que é o único dado perdido. Olhando a imagem acima, você pode ver que a altura da pirâmide (3 cm) e o apótema da base (4 cm) formam um triângulo retângulo; portanto, para calcular o apótema da pirâmide, usamos o teorema de Pitágoras:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Assim, usando a fórmula descrita acima, segue-se que a área é igual a 3 * 2 * (4 + 5) = 54cm ^ 2.

Por outro lado, usando a fórmula volumétrica, obtemos que o volume da pirâmide dada é 2 * 4 * 3 = 24cm ^ 3.

Referências

1. Billstein, R., Libeskind, S., e Lott, J. W. (2013).Matemática: uma abordagem de resolução de problemas para professores de educação básica. López Mateos Editores.
2. Fregoso, R. S., e Carrera, S. A. (2005).Matemática 3. Editorial de progresso.
3. Gallardo, G., & Pilar, P. M. (2005).Matemática 6. Editorial de progresso.
4. Gutiérrez, C. T., & Cisneros, M. P. (2005).Curso de Matemática 3º. Editorial de progresso.
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6. Mitchell, C. (1999).Projetos de linha de matemática deslumbrante (Ed. Ilustrada). Scholastic Inc.
7. R., M. P. (2005).Eu desenho 6º. Editorial de progresso.