Propriedades da Igualdade

O propriedades da igualdade eles se referem à relação entre dois objetos matemáticos, números ou variáveis. É denotado pelo símbolo "=", que sempre vai entre esses dois objetos. Essa expressão é usada para estabelecer que dois objetos matemáticos representam o mesmo objeto; em outra palavra, que dois objetos são a mesma coisa.

Há casos em que é trivial usar igualdade. Por exemplo, é claro que 2 = 2. No entanto, quando se trata de variáveis, não é mais trivial e tem usos específicos. Por exemplo, se você tem y = x e, por outro lado, x = 7, você pode concluir que y = 7 também.

O exemplo anterior é baseado em uma das propriedades da igualdade, como será visto em breve. Essas propriedades são essenciais para resolver equações (igualdades envolvendo variáveis), que formam uma parte muito importante na matemática.

Índice

• 1 Quais são as propriedades da igualdade?
  • 1.1 Propriedade reflexiva
  • 1.2 Propriedade Simétrica
  • 1.3 Propriedade transitiva
  • 1.4 Propriedade uniforme
  • 1.5 Propriedade de cancelamento
  • 1.6 Propriedade de substituição
  • 1.7 Propriedade de poder em igualdade
  • 1.8 Propriedade da raiz em uma igualdade
• 2 referências

Quais são as propriedades da igualdade?

Propriedade reflexiva

Propriedade reflexiva, no caso de igualdade, afirma que cada número é igual a si mesmo e é expresso como b = b para qualquer número real b.

No caso particular da igualdade, esta propriedade parece ser óbvia, mas em outro tipo de relação entre números, não é. Em outras palavras, nem toda relação de números reais cumpre essa propriedade. Por exemplo, tal caso da relação "menor que" (<); nenhum número é menor que ele mesmo.

Propriedade simétrica

A propriedade simétrica para igualdade diz que se a = b, então b = a. Não importa qual ordem é usada nas variáveis, ela será preservada pela relação de igualdade.

Uma certa analogia dessa propriedade pode ser observada com a propriedade comutativa no caso de adição. Por exemplo, por causa dessa propriedade, é equivalente escrever y = 4 ou 4 = y.

Propriedade transitiva

A propriedade transitiva em igualdade declara que se a = beb = c, então a = c. Por exemplo, 2 + 7 = 9 e 9 = 6 + 3; portanto, pela propriedade transitiva, temos 2 + 7 = 6 + 3.

Uma aplicação simples é a seguinte: suponha que Julian tenha 14 anos e que Mario tenha a mesma idade que Rosa. Se Rosa tem a mesma idade de Julian, que idade tem Mario?

Por trás desse cenário, a propriedade transitiva é usada duas vezes. Matematicamente interpreta-se assim: seja "a" a idade de Mario, "b" a idade de Rosa e "c" a idade de Julian. Sabe-se que b = c e c = 14.

Para a propriedade transitiva, temos que b = 14; isto é, Rosa tem 14 anos. Como a = b e b = 14, usando novamente a propriedade transitiva, temos a = 14; isto é, a idade de Mario também é de 14 anos.

Propriedade uniforme

A propriedade uniforme é que, se ambos os lados de uma igualdade forem adicionados ou multiplicados pela mesma quantidade, a igualdade será preservada. Por exemplo, se 2 = 2, então 2 + 3 = 2 + 3, o que é claro, então 5 = 5. Essa propriedade tem mais utilidade quando se trata de resolver uma equação.

Por exemplo, suponha que você esteja pedindo para resolver a equação x-2 = 1. É conveniente lembrar que a solução de uma equação consiste em determinar explicitamente a variável (ou variáveis) envolvidas, com base em um número específico ou em uma variável especificada anteriormente.

Voltando à equação x-2 = 1, o que deve ser feito é encontrar explicitamente quanto vale o x. Para isso, a variável deve ser desmarcada.

Foi erroneamente ensinado que, neste caso, como o número 2 é negativo, ele passa para o outro lado da igualdade com um sinal positivo. Mas não é correto dizer isso dessa maneira.

Basicamente, o que está sendo feito é aplicar a propriedade uniforme, como veremos abaixo. A ideia é limpar "x"; isto é, deixe-o sozinho em um lado da equação. Por convenção, geralmente é deixado no lado esquerdo.

Para este efeito, o número que você deseja "eliminar" é -2. A maneira de fazer isso seria adicionando 2, pois -2 + 2 = 0 e x + 0 = 0. Para fazer isso sem alterar a igualdade, a mesma operação deve ser aplicada no outro lado.

Isto permite que a propriedade uniforme seja realizada: como x-2 = 1, se o número 2 for adicionado em ambos os lados da igualdade, a propriedade uniforme diz que o mesmo não é alterado. Então temos que x-2 + 2 = 1 + 2, o que equivale a dizer que x = 3. Com isso, a equação seria resolvida.

Da mesma forma, se você quiser resolver a equação (1/5) y-1 = 9, você pode continuar usando a propriedade uniforme da seguinte maneira:

Mais geralmente, as seguintes declarações podem ser feitas:

- Se a-b = c-b, então a = c.

- Se x-b = y, então x = y + b.

- Se (1 / a) z = b, então z = a ×

- Se (1 / c) a = (1 / c) b, então a = b.

Propriedade de cancelamento

A propriedade de cancelamento é um caso particular de propriedade uniforme, particularmente considerando o caso de subtração e divisão (que, no final, também correspondem a adição e multiplicação). Esta propriedade trata este caso separadamente.

Por exemplo, se 7 + 2 = 9, então 7 = 9-2. Ou se 2y = 6, então y = 3 (dividindo por dois em ambos os lados).

Analogamente ao caso anterior, através da propriedade de cancelamento, as seguintes afirmações podem ser estabelecidas:

- Se a + b = c + b, então a = c.

- Se x + b = y, então x = y-b.

- Se az = b, então z = b / a.

- Se ca = cb, então a = b.

Propriedade de substituição

Se soubermos o valor de um objeto matemático, a propriedade de substituição afirma que esse valor pode ser substituído em qualquer equação ou expressão. Por exemplo, se b = 5 e a = bx, então substituindo o valor de "b" na segunda igualdade, temos que a = 5x.

Outro exemplo é o seguinte: se "m" divide "n" e também "n" divide "m", então deve ser m = n.

Com efeito, dizer que "m" divide "n" (ou equivalentemente, que "m" é um divisor de "n") significa que a divisão m ÷ n é exata; isto é, dividindo "m" por "n", você obtém um número inteiro, não um número decimal. Isso pode ser expresso dizendo que existe um inteiro "k" tal que m = k × n.

Como "n" também divide "m", existe um inteiro "p" tal que n = p × m. Para a propriedade de substituição, temos que n = p × k × n, e para que isso aconteça, existem duas possibilidades: n = 0, caso em que teríamos a identidade 0 = 0; ou p × k = 1, onde a identidade n = n teria que ser.

Suponha que "n" seja diferente de zero. Então necessariamente p × k = 1; portanto, p = 1 e k = 1. Usando novamente a propriedade de substituição, ao substituir k = 1 na igualdade m = k × n (ou equivalentemente, p = 1 em n = p × m) é finalmente obtido que m = n, que era o que se queria demonstrar.

Propriedade do poder em igualdade

Como anteriormente foi visto que se uma operação é feita como uma soma, multiplicação, subtração ou divisão em ambos os termos de uma igualdade, ela é preservada, da mesma forma que outras operações que não alteram uma igualdade podem ser aplicadas.

A chave é sempre fazê-lo em ambos os lados da igualdade e certificar-se previamente de que a operação possa ser executada. Tal é o caso do empoderamento; isto é, se ambos os lados de uma equação forem elevados ao mesmo poder, ela ainda tem uma igualdade.

Por exemplo, como 3 = 3, então 3²=3² (9 = 9). Em geral, dado um inteiro "n", se x = y, então xⁿ= yⁿ.

Propriedade da raiz em uma igualdade

Este é um caso particular de potenciação e se aplica quando o poder é um número racional não inteiro, como ½, que representa a raiz quadrada. Essa propriedade informa que, se a mesma raiz for aplicada em ambos os lados de uma igualdade (sempre que possível), a igualdade será preservada.

Ao contrário do caso anterior, aqui você deve ter cuidado com a paridade da raiz que será aplicada, pois é bem conhecido que a raiz uniforme de um número negativo não está bem definida.

No caso em que o radical é par, não há problema. Por exemplo, se x³= -8, mesmo sendo uma igualdade, você não pode aplicar uma raiz quadrada nos dois lados, por exemplo. No entanto, se você pode aplicar uma raiz cúbica (que é ainda mais conveniente se você quiser saber explicitamente o valor de x), obtendo x = -2.

Referências

1. Aylwin, C. U. (2011). Lógica, Conjuntos e Números. Mérida - Venezuela: Conselho de Publicações da Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SET. Limiar
3. Lira, M. L. (1994). Simon e Matemática: texto de matemática para o segundo ano básico: livro do aluno. Andres Bello.
4. Preciado, C. T. (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial de progresso.
5. Segovia, B. R. (2012). Atividades matemáticas e jogos com Miguel e Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C. e Preciado, M. (1985). Curso de Matemática 2a. Editorial de progresso.