Exemplos de Teoremas de Varignon e Exercícios Resolvidos



O Teorema de Varignon estabelece que, se em qualquer quadrilátero, quaisquer pontos são continuamente unidos aos lados, um paralelogramo é gerado. Este teorema foi formulado por Pierre Varignon e publicado em 1731 no livro Elementos da matemática”.

A publicação do livro ocorreu anos após sua morte. Desde que Varignon foi quem apresentou este teorema, o paralelogramo é nomeado após ele. O teorema é baseado na geometria euclidiana e apresenta relações geométricas de quadriláteros.

Índice

  • 1 Qual é o teorema de Varignon?
  • 2 exemplos
    • 2.1 Primeiro exemplo
    • 2.2 Segundo exemplo
  • 3 exercícios resolvidos
    • 3.1 Exercício 1
    • 3.2 Exercício 2
    • 3.3 Exercício 3
  • 4 referências

Qual é o teorema de Varignon?

Varignon afirmou que uma figura que é definida pelos pontos médios de um quadrilátero sempre resultará em um paralelogramo, e a área desta será sempre metade da área do quadrilátero se for plana e convexa. Por exemplo:

Na figura podemos ver um quadrilátero com uma área X, onde os pontos médios dos lados são representados por E, F, G e H e, quando são unidos, formam um paralelogramo. A área do quadrilátero será a soma das áreas dos triângulos que são formados e metade disso corresponde à área do paralelogramo.

Como a área do paralelogramo é metade da área do quadrilátero, o perímetro desse paralelogramo pode ser determinado.

Assim, o perímetro é igual à soma dos comprimentos das diagonais do quadrilátero; isto porque a mediana do quadrilátero será a diagonal do paralelogramo.

Por outro lado, se os comprimentos das diagonais do quadrilátero forem exatamente os mesmos, o paralelogramo será um diamante. Por exemplo:

A partir da figura, pode-se ver que, unindo os pontos médios dos lados do quadrilátero, obtém-se um losango. Por outro lado, se as diagonais do quadrilátero são perpendiculares, o paralelogramo será um retângulo.

Também o paralelogramo será um quadrado quando o quadrilátero tiver as diagonais com o mesmo comprimento e também será perpendicular.

O teorema não é apenas cumprido em quadriláteros planos, também é implementado em geometria espacial ou em grandes dimensões; isto é, naqueles quadriláteros que não são convexos. Um exemplo disso pode ser um octaedro, onde os pontos médios são os centroides de cada face e formam um paralelepípedo.

Desta forma, juntando os pontos médios de diferentes figuras, podem ser obtidos paralelogramos. Uma maneira simples de verificar se isso é realmente verdade é que os lados opostos devem estar paralelos quando forem estendidos.

Exemplos

Primeiro exemplo

Prolongamento dos lados opostos para mostrar que é um paralelogramo:

Segundo exemplo

Juntando os pontos médios de um diamante, obtemos um retângulo:

O teorema é usado na união de pontos localizados no meio dos lados de um quadrilátero, e também pode ser usado para outros tipos de pontos, como em uma trissecção, penta-seção, ou até mesmo um número infinito de seções ( nth), a fim de dividir os lados de qualquer quadrilátero em segmentos que são proporcionais.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Temos na figura um ABCD quadrilateral da área Z, onde os pontos médios dos lados deste são PQSR. Verifique se um paralelogramo de Varignon é formado.

Solução

Pode-se verificar que, ao unir os pontos do PQSR, é formado um paralelogramo de Varignon, justamente porque no enunciado são dados os pontos médios de um quadrilátero.

Para demonstrar isso, os pontos médios PQSR estão unidos, então pode ser visto que outro quadrilátero é formado. Para mostrar que é um paralelogramo, você apenas tem que desenhar uma linha reta do ponto C ao ponto A, assim você pode ver que o CA é paralelo ao PQ e ao RS.

Da mesma forma, ao estender os lados do PQRS, pode-se notar que PQ e RS são paralelos, como mostra a imagem a seguir:

Exercício 2

Tem um retângulo tal que os comprimentos de todos os seus lados são iguais. Ao unir os pontos médios desses lados, forma-se um losango ABCD, que é dividido por duas diagonais AC = 7cm e BD = 10cm, que coincidem com as medidas dos lados do retângulo. Determine as áreas de diamante e retângulo.

Solução

Lembrando que a área do paralelogramo resultante é metade do quadrilátero, você pode determinar a área destes sabendo que a medida das diagonais coincide com os lados do retângulo. Então você tem que:

AB = D

CD = d

Umretângulo = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Umlosango = A retângulo / 2

Umlosango = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Exercício 3

Temos na figura um quadrilátero que tem a união dos pontos EFGH, os comprimentos dos segmentos são dados. Determine se a união do EFGH é um paralelogramo.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Solução

Dados os comprimentos dos segmentos, é possível verificar se existe proporcionalidade entre os segmentos; isto é, é possível saber se estes são paralelos, relacionando os segmentos do quadrilátero da seguinte maneira:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Então a proporcionalidade é verificada, uma vez que:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Da mesma forma, ao traçar uma linha do ponto B ao ponto D, podemos ver que EH é paralelo a BD, assim como BD é paralelo a FG. Por outro lado, EF é paralelo ao GH.

Dessa forma, pode ser determinado que EFGH é um paralelogramo, porque os lados opostos são paralelos.

Referências

  1. Andres, T. (2010). Matemática Olimpíada Tresure. Springer Nova York
  2. Barbosa, J. L. (2006). Geometria Euclidiana Plana. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Estudo de Geometrias. México: hispânico - americano.
  4. Ramo, G. P. (1998). Soluções desconhecidas para os problemas de Fermat-Torricelli. ISBN - trabalho independente.
  5. Vera, F. (1943). Elementos de geometria Bogotá
  6. Villiers, M. (1996). Algumas aventuras na geometria euclidiana. África do Sul