Demonstração do Teorema Binomial e Exemplos

O Teorema binomial é uma equação que nos diz como desenvolver uma expressão da forma (a + b)ⁿ para algum número natural n. Um binômio nada mais é do que a soma de dois elementos, como (a + b). Também nos permite conhecer um termo dado por um^kb^n-k Qual é o coeficiente que o acompanha?

Este teorema é comumente atribuído ao inventor inglês, físico e matemático Sir Isaac Newton; No entanto, vários registros foram encontrados que indicam que no Oriente Médio sua existência já era conhecida, por volta do ano 1000.

Índice

• 1 números combinatórios
• 2 demonstração
• 3 exemplos
  • 3.1 Identidade 1
  • 3.2 Identidade 2
• 4 Outra demonstração
  • 4.1 Demonstração por indução
• 5 Curiosidades
• 6 referências

Números combinatórios

O teorema binomial nos diz matematicamente o seguinte:

Nesta expressão, a e b são números reais e n é um número natural.

Antes de dar a demonstração, vamos ver alguns conceitos básicos que são necessários.

O número combinatório ou combinações de n em k é expresso da seguinte forma:

Esta forma expressa o valor de quantos subconjuntos com k elementos podem ser escolhidos de um conjunto de n elementos. Sua expressão algébrica é dada por:

Vamos ver um exemplo: suponha que tenhamos um grupo de sete bolas, das quais duas são vermelhas e as restantes são azuis.

Queremos saber quantas maneiras podemos ordená-las em sequência. Uma maneira poderia ser colocar os dois vermelhos nas primeiras e segundas posições, e o resto das bolas nas posições restantes.

Similar ao caso anterior, nós poderíamos dar às bolas vermelhas a primeira e a última posições, respectivamente, e ocupar as outras com bolas azuis.

Agora, uma forma eficaz de dizer quantas maneiras podemos ordenar as bolas em sequência é usar os números combinatórios. Podemos ver cada posição como um elemento do seguinte conjunto:

Em seguida, só é necessário escolher um subconjunto de dois elementos, em que cada um desses elementos representa a posição que as bolas vermelhas ocuparão. Podemos fazer essa escolha de acordo com a relação dada por:

Desta forma, temos que existem 21 maneiras de classificar essas bolas.

A ideia geral deste exemplo será muito útil na demonstração do teorema binomial. Vamos olhar para um caso particular: se n = 4, temos (a + b)⁴que nada mais é que:

Quando desenvolvemos este produto, temos a soma dos termos obtidos pela multiplicação de um elemento de cada um dos quatro fatores (a + b). Assim, teremos termos que serão da forma:

Se quiséssemos obter o termo do formulário para⁴, basta multiplicar da seguinte forma:

Note que existe apenas uma maneira de obter este elemento; mas e se agora procurarmos o termo do formulário para²b²? Como "a" e "b" são números reais e, portanto, a lei comutativa é válida, temos uma maneira de obter esse termo para multiplicar com os membros, conforme indicado pelas setas.

Realizar todas essas operações geralmente é um tanto entediante, mas se vemos o termo "a" como uma combinação onde queremos saber quantas maneiras podemos escolher dois "a" de um conjunto de quatro fatores, podemos usar a idéia do exemplo anterior. Então, nós temos o seguinte:

Então, sabemos que no desenvolvimento final da expressão (a + b)⁴ nós teremos exatamente 6a²b². Usando a mesma ideia para os outros elementos, você precisa:

Então adicionamos as expressões obtidas anteriormente e temos que:

É uma demonstração formal para o caso geral em que "n" é qualquer número natural.

Demonstração

Observe que os termos que permanecem ao desenvolver (a + b)ⁿ são da forma de^kb^n-k, onde k = 0,1, ..., n. Usando a idéia do exemplo anterior, temos a maneira de escolher "k" variáveis ​​"a" do "n" fatores é:

Ao escolher dessa maneira, estamos escolhendo automaticamente as variáveis ​​n-k "b". Daqui resulta que:

Exemplos

Considerando (a + b)⁵Qual seria o seu desenvolvimento?

Pelo teorema binomial temos que:

O teorema binomial é muito útil se tivermos uma expressão na qual queremos saber qual é o coeficiente de um termo específico sem ter que executar o desenvolvimento completo. Como exemplo podemos tirar a seguinte questão: qual é o coeficiente de x⁷e⁹ no desenvolvimento de (x + y)¹⁶?

Pelo teorema binomial, temos que o coeficiente é:

Outro exemplo seria: qual é o coeficiente de x⁵e⁸ no desenvolvimento de (3x-7y)¹³?

Primeiro, reescrevemos a expressão de maneira conveniente; isto é:

Então, usando o teorema binomial, temos que o coeficiente procurado é quando temos k = 5

Outro exemplo dos usos desse teorema é na demonstração de algumas identidades comuns, como as mencionadas abaixo.

Identidade 1

Se "n" é um número natural, temos que:

Para a demonstração, usamos o teorema binomial, onde tanto "a" quanto "b" assumem o valor de 1.Então nós partimos:

Desta forma, provamos a primeira identidade.

Identidade 2

Se "n" é um número natural, então

Pelo teorema binomial temos que:

Outra demonstração

Podemos fazer uma demonstração diferente para o teorema binomial usando o método indutivo e a identidade pascal, que nos diz que se "n" e "k" são inteiros positivos que atendem n ≥ k, então:

Demonstração por indução

Primeiro vamos ver que a base indutiva é preenchida. Se n = 1, temos que:

Efetivamente, vemos que isso é cumprido. Agora, deixe n = j tal que seja cumprido:

Queremos ver que para n = j + 1 se cumpre que:

Então, nós temos que:

Por hipótese, sabemos que:

Então, usando a propriedade distributiva:

Posteriormente, desenvolvendo cada uma das somas que temos:

Agora, se nos agruparmos de uma maneira conveniente, temos que:

Usando a identidade do pascal, temos que:

Finalmente, note que:

Portanto, vemos que o teorema binomial é preenchido por todos os "n" pertencentes ao número natural, e com isso o teste termina.

Curiosidades

O número combinatório (nk) também é chamado de coeficiente binomial porque é precisamente o coeficiente que aparece no desenvolvimento do binômio (a + b)ⁿ.

Isaac Newton deu uma generalização deste teorema para o caso em que o expoente é um número real; Este teorema é conhecido como o teorema binomial de Newton.

Nos tempos antigos, esse resultado era conhecido pelo caso particular em que n = 2. Este caso é mencionado no Elementos de Euclides

Referências

1. Johnsonbaugh Richard. Matemática Discreta PHH
2. Kenneth.H. Rosen, Matemática Discreta e suas Aplicações. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D e Marc Lipson. Matemática Discreta. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Matemática Discreta e Combinatória. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Estrela Luis ... Matemática Discreta e Combinatoria.Anthropos