Recursos do método axiomático, etapas, exemplos

O método axiomático ou também chamado Axiomatics é um procedimento formal usado pelas ciências por meio do qual formulações ou proposições chamadas axiomas são formuladas, conectadas umas às outras por uma relação de dedutibilidade e que são a base da hipótese ou condições de um determinado sistema.

Esta definição geral deve ser enquadrada dentro da evolução que esta metodologia teve ao longo da história. Primeiro, existe um método ou conteúdo antigo, nascido na Grécia Antiga de Euclides e depois desenvolvido por Aristóteles.

Em segundo lugar, já no século XIX, o surgimento de uma geometria com axiomas diferentes dos de Euclides. E finalmente, o método axiomático formal ou moderno, cujo expoente máximo era David Hilbert.

Além de seu desenvolvimento ao longo do tempo, este procedimento tem sido a base do método dedutivo utilizado na geometria e na lógica de onde se originou. Também tem sido usado em física, química e biologia.

E foi aplicado até mesmo na ciência jurídica, na sociologia e na economia política. No entanto, atualmente sua mais importante esfera de aplicação é a matemática e a lógica simbólica e alguns ramos da física, como a termodinâmica, a mecânica, entre outras disciplinas.

Índice

• 1 caraterísticas
  • 1.1 Método ou conteúdo axiomático antigo
  • 1.2 Método axiomático não-euclidiano
  • 1.3 Método axiomático moderno ou formal
• 2 passos
• 3 exemplos
• 4 referências

Características 

Embora a característica fundamental deste método seja a formulação de axiomas, estes nem sempre foram considerados da mesma maneira.

Há alguns que podem ser definidos e construídos de maneira arbitrária. E outros, de acordo com um modelo em que sua verdade intuitivamente garantida é considerada.

Para entender especificamente em que consiste essa diferença e suas conseqüências, é necessário rever a evolução desse método.

Método axiomático antigo ou conteúdo

É o estabelecido na Grécia Antiga por volta do século 5 aC. Sua esfera de aplicação é a geometria. O trabalho fundamental desta etapa é os Elementos de Euclides, ainda que se considere que antes dele, Pitágoras, já tinha dado origem ao método axiomático.

Assim, os gregos tomam certos fatos como axiomas, sem exigir qualquer prova lógica, isto é, sem a necessidade de demonstração, uma vez que para eles são uma verdade evidente.

Por sua vez, Euclides apresenta cinco axiomas para a geometria:

1-Dado dois pontos, há uma linha que contém ou se junta a eles.

2-Qualquer segmento pode ser continuado continuamente em uma linha ilimitada em ambos os lados.

3-Você pode desenhar um círculo que tenha um centro em qualquer ponto e qualquer raio.

4-ângulos retos são todos iguais.

5-Tomando qualquer linha reta e qualquer ponto que não esteja nela, há uma linha reta paralela àquela e que contém aquele ponto. Este axioma é conhecido, posteriormente, como o axioma dos paralelos e foi enunciado também como: por um ponto fora de uma linha pode-se traçar um único paralelo.

No entanto, ambos Euclides e matemáticos posteriores concordam que o quinto axioma não é tão intuitivamente claro que o outro 4. Mesmo durante o Renascimento tenta deduzir o quinto do outro 4, mas não é possível.

Isso fez com que já no século XIX, aqueles que mantiveram os cinco eram defensores da geometria euclidiana e aqueles que negaram o quinto, foram aqueles que criaram as geometrias não-euclidianas.

Método axiomático não-euclidiano

São precisamente Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss que vêem a possibilidade de construir, sem contradição, uma geometria que vem de sistemas de axiomas diferentes dos de Euclides. Isso destrói a crença na verdade absoluta ou a priori dos axiomas e as teorias que derivam deles.

Portanto, os axiomas começam a ser concebidos como pontos de partida de uma dada teoria. Além disso, tanto a sua escolha como o problema da sua validade de uma forma ou de outra começam a estar relacionados com factos fora da teoria axiomática.

Surgem, assim, teorias geométricas, algébricas e aritméticas construídas por meio do método axiomático.

Esta etapa culmina com a criação de sistemas axiomáticos para a aritmética, como o de Giuseppe Peano, em 1891; a geometria de David Hubert em 1899; as declarações e cálculos de predicados de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, na Inglaterra em 1910; a teoria axiomática dos conjuntos de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo em 1908.

Método axiomático moderno ou formal

É David Hubert quem inicia a concepção de um método axiomático formal e isso leva à sua culminação, David Hilbert.

É precisamente Hilbert quem formaliza a linguagem científica, considerando suas afirmações como fórmulas ou seqüências de signos que não têm nenhum significado em si. Eles só adquirem significado em uma certa interpretação.

Em "O básico da geometria"Explica o primeiro exemplo desta metodologia.A partir daqui, a geometria torna-se uma ciência de conseqüências lógicas puras, que são extraídas de um sistema de hipóteses ou axiomas, melhor articulados do que o sistema euclidiano.

Isso ocorre porque no sistema antigo a teoria axiomática é baseada na evidência dos axiomas. Enquanto a fundação da teoria formal é dada pela demonstração da não contradição de seus axiomas.

Passos 

O procedimento que realiza uma estruturação axiomática dentro das teorias científicas reconhece:

a - a escolha de um certo número de axiomas, isto é, um número de proposições de uma certa teoria que são aceitas sem a necessidade de serem demonstradas.

b - os conceitos que fazem parte dessas proposições não são determinados dentro da estrutura da teoria dada.

c - as regras de definição e dedução da teoria dada são fixas e permitem introduzir novos conceitos dentro da teoria e deduzir logicamente algumas proposições de outras.

d - as outras proposições da teoria, isto é, o teorema, são deduzidas de um com base em c.

Exemplos

Este método pode ser verificado através da demonstração dos dois teoremas de Euclides mais conhecidos: o teorema da perna e o teorema da altura.

Ambos surgem da observação deste geometrista grego que quando a altura é traçada em relação à hipotenusa dentro de um triângulo retângulo, dois triângulos aparecem mais do que o original. Esses triângulos são semelhantes entre si e, ao mesmo tempo, semelhantes ao triângulo de origem. Isso pressupõe que seus respectivos lados homólogos sejam proporcionais.

Pode-se observar que os ângulos congruentes nos triângulos confirmam a semelhança existente entre os três triângulos envolvidos de acordo com o critério de similaridade do AAA. Este critério sustenta que quando dois triângulos têm todos os seus ângulos iguais eles são semelhantes.

Uma vez mostrado que os triângulos são semelhantes, as proporções especificadas no primeiro teorema podem ser estabelecidas. Afirma que, em um triângulo retângulo, a medida de cada perna é uma média geométrica proporcional entre a hipotenusa e a projeção do cateto nela.

O segundo teorema é o da altura. Especifica que qualquer triângulo retângulo a altura que é desenhada de acordo com a hipotenusa é uma média geométrica proporcional entre os segmentos que são determinados por esta média geométrica sobre a hipotenusa.

É claro que ambos os teoremas têm inúmeras aplicações em todo o mundo, não apenas no campo da educação, mas também em engenharia, física, química e astronomia.

Referências

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismo e intuição: David Hilbert e o método formal axiomático (1895-1905). Revista de Filosofia, Vol. 39 Núm. 2, pp.121-146. Retirado de revistas.ucm.es.
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3. Hintikka, Jaako. (2009). Qual é o método axiomático? Synthese, novembro de 2011, volume 189, pp.69-85. Extraído de link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introdução à Filosofia do Direito Contemporâneo. (pp. 48-49). Extraído de books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) The Axiomatic Method, através da leitura de Ricardo Nirenberg, Outono de 1996, da Universidade de Albany, Projeto Renaissance. Retirado de Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert entre o lado formal e o informal da Matemática. Manuscrito vol. 38 não. 2, Campinas julho / agosto de 2015. Extraído do scielo.br.